向量运算：加法、点积与叉积

为什么要学向量？

向量是既有大小又有方向的量。它们是物理中力的数学语言、导航中方向的表达、计算机图形学中坐标的基础。掌握向量运算对任何 STEM 学科都不可或缺。

学习目标：学完本指南后，你应该能够：

1. 用代数和几何方法进行向量的加减和数乘运算。
2. 计算点积并用它求夹角。
3. 计算叉积并用它求面积和法向量。
4. 运用向量运算解决几何和物理问题。

向量基础

二维或三维向量写作 $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ 或 $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$。

模（大小）

单位向量

加法与数乘

加法：$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$

几何意义：将 $\vec{b}$ 的尾部放在 $\vec{a}$ 的头部（首尾相接法则）。

数乘：$k\vec{a} = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3 \end{pmatrix}$

• $k > 1$：拉伸向量
• $0 < k < 1$：缩短向量
• $k < 0$：方向反转

点积（数量积）

关键性质

求夹角

叉积（向量积）

叉积仅在三维中定义：

关键性质

• 结果是向量，同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$。
• 模：$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ = 由 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 构成的平行四边形的面积。
• 方向：由右手定则决定。
• 反交换律：$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$

典型例题

例题 1：求两向量夹角

求 $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 和 $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 的夹角。

例题 2：求三角形面积

求以 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ 为顶点的三角形面积。

常见错误

1. 混淆点积和叉积 —— 点积结果是标量，叉积结果是向量。注意题目要求的是哪一种。
2. 忘记叉积的反交换律 —— $\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$，顺序很重要。
3. 行列式展开符号错误 —— 注意 $\hat{j}$ 分量在余子式展开中有一个负号。

考试技巧（高考 / AP / IB / A-Level）

• 判断垂直性：计算点积。若为零，则两向量垂直。
• 叉积是求平面法向量最快的方法——对平面内两个方向向量做叉积即可。
• $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影：$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$。

常见问题

标量和向量有什么区别？

标量只有大小（如温度、质量）。向量既有大小又有方向（如速度、力）。

二维中有叉积吗？

不完全一样。在二维中，$\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$ 的「叉积」给出一个标量 $a_1 b_2 - a_2 b_1$，等于由两向量构成的平行四边形的有向面积。

相关主题

• 空间几何 —— 向量提供了三维几何的代数工具。
• 复数 —— 复数乘法有向量旋转的解释。
• 三角函数图像 —— 点积公式涉及余弦；叉积公式涉及正弦。